Объяснение:
Для начала, изучим, что дано в задаче. У нас есть треугольник ABC, в котором AB перпендикулярно BC, BD перпендикулярна AC и AM равна МС. Также даны значения BD и BM, равные 4 и 5 соответственно.
Сначала найдем значение БМ:
$BM^2 = AB^2 — AM^2 = BC^2 — CM^2 = (AB+BC)^2 — (AB-BМ)^2 — (BC-AM)^2 = 25 — AB^2 +16 — BC^2 + 2AB cdot BM — 2BC cdot AM$
известно AB^2 + BC^2 = AC^2
$BM^2 = 41 — AC^2 + 2AB cdot BM — 2BC cdot AM$
$frac{AM}{AC} = frac{MC}{AC} = frac{MC+MA}{AC} = frac{AC}{2AC} = frac{1}{2}$
Из этого мы можем найти два равнобедренных треугольника: АBD и AMC.
Из теоремы Пифагора и вышеупомянутых отношений, мы можем найти AC и AB:
$AC = sqrt{AM^2 + MC^2} = sqrt{5^2 + 10^2} = sqrt{125} = 5sqrt{5}$
$AB = frac{AC}{sqrt{2}} = frac{5sqrt{5}}{sqrt{2}} = 5sqrt{10}$
Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулю для площади треугольника:
$S_{ABC} = frac{1}{2} cdot AB cdot BC = frac{1}{2} cdot 5sqrt{10} cdot 5 = frac{25}{2}sqrt{10}$
Чтобы вычислить cosBMC, найдем угол BMC с помощью косинусов:
$cos{angle BMC} = frac{BM^2 + MC^2 — BC^2}{2 cdot BM cdot MC} = frac{25+100-125}{2 cdot 5 cdot 10} = -frac{1}{4}$
Показательный материал:
Найдите площадь и косинус угла в треугольнике ABC, если AB = 5, BM = 7 и AM/AC = 1/3.
Совет:
Хорошее понимание основных теорем геометрии, таких как теорема Пифагора и теорема косинусов являются ключевыми в данной задаче.
Практика:
Даны стороны треугольника ABC: AB = 7, AC = 9 и BC = 12. Найдите площадь и косинус угла между AB и BC.
Ответ полезный?
0 / 0